WordPress デフォルトのコメント通知は、投稿者のIPだのWhoisだの不要な情報が一杯付いてくるので（用途がクライアント様とのやりとりなので、極力シンプルにしたいので）不要な情報を削除。

本体/wp-includes/pluggable.php の954行目以降と1048行目以降の
不要な情報をコメントアウト

私の場合はコメント情報のみでいいので

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をコメントアウト

ついでに、From: がコメント投稿者のメールアドレスになってないので989行目

$from = "From: \"$comment->comment_author\" <$wp_email>";

を

$from = "From: \"$comment->comment_author\" <$comment->comment_author_email>";

に変更